Transformata Laplace’a, choć bywa przez studentów uważana za wyzwanie w matematyce stosowanej, stanowi fundamentalne narzędzie dla wielu inżynierów i matematyków. Pomimo że może na pierwszy rzut oka wydawać się trudna do opanowania, jej zrozumienie otwiera drzwi do efektywnej analizy i rozwiązywania skomplikowanych problemów inżynieryjnych i matematycznych.
W tym poście przeprowadzę Cię przez jej kluczowe aspekty — od podstawowego pytania: czym jest transformata Laplace’a, po jej operator, tablice transformat oraz omówienie jej właściwości. Zakończymy wprowadzeniem do odwrotnej transformaty. Jeśli kiedykolwiek czułeś, że chcesz bardziej zgłębić tajniki transformaty Laplace’a, ten post jest dla Ciebie. Serdecznie zapraszam do lektury!
- Transformata Laplace’a — Co to jest ?
- Operator transformaty Laplace’a
- Tablica transformat Laplace’a
- Właściwości transformaty Laplace’a
- Odwrotna transformata Laplace’a
Transformata Laplace’a — Co to jest ?
Transformata Laplace’a, nazwana na cześć jej odkrywcy Pierre-Simona Laplace’a jest przekształceniem całkowym, które przyporządkowuje rzeczywistej funkcji \(f(t)\) funkcję zmiennej zespolonej \(F(s)\) i jest zdefiniowane następująco
$$\mathcal{L}\{f(t)\}(s) \stackrel{def}{=} \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st}dt.$$
Oczywiście przekształcić możemy tylko te funkcje, dla których powyższa całka jest zbieżna.
Operator transformaty Laplace’a
W definicji transformaty Laplace’a zastosowano dwuargumentowy operator Laplace’a oznaczony symbolem \(\mathcal{L}\{\blacksquare\}(\bullet)\). Zwróć uwagę, że w miejsce \(\blacksquare\) wstawiamy funkcję, którą chcemy przekształcić. Z kolei \(\bullet\) to zmienna, w której kontekście będziemy wyrażać wynik tej transformacji.
Dzięki dwuargumentowemu operatorowi Laplace’a możemy jednocześnie zapisać jaką funkcję transformujemy oraz od jakiej zmiennej jej transformata powinna zależeć. Dla przykładu transformatę funkcji sinus możemy wyrazić klasycznie od zmiennej \(s\), wtedy
$$ \mathcal{L}\{\sin{(t)}\}(s) = \frac{1}{s^2+1},$$
lub np. od zmiennej \(p\), wtedy
$$ \mathcal{L}\{\sin{(t)}\}(p) = \frac{1}{p^2+1}.$$
Najczęściej funkcję będącą wynikiem transformaty Laplace’a oznaczamy dużą literą i wyrażamy od zmiennej \(s\) tak jak poniżej:
$$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\}(s)$$
Czasami, gdy nie chcemy określać zmiennej, od której zależy transformata Laplace’a (np. przy definiowaniu jej właściwości), pomijamy drugi argument dwuargumentowego operatora Laplace’a, pisząc po prostu
$$F = \mathcal{L}\{f\}.$$
Tablica transformat Laplace’a
| – | ORYGINAŁ \(f(t)\) | TRANSFORMATA \(F(s)\) |
|---|---|---|
| 01 | $$\mathbb{1}(t)$$ | $$\frac{1}{s}$$ |
| 02 | $$t$$ | $$\frac{1}{s^2}$$ |
| 03 | $$t^n$$ | $$\frac{n!}{s^{n+1}}$$ |
| 04 | $$\delta(t)$$ | $$1$$ |
| 05 | $$e^{\lambda t}$$ | $$\frac{1}{s-\lambda}$$ |
| 06 | $$\sin{(\omega t)}$$ | $$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$$ |
| 07 | $$\cos{(\omega t)}$$ | $$\frac{s}{s^2+\omega^2}$$ |
| 08 | $$e^{\lambda t}\sin{(\omega t)}$$ | $$\frac{\omega}{(s-\lambda)^2+\omega^2}$$ |
| 09 | $$e^{\lambda t}\cos{(\omega t)}$$ | $$\frac{s – \lambda}{(s-\lambda)^2+\omega^2}$$ |
| 10 | $$t\sin{(\omega t)}$$ | $$\frac{2\omega s}{(s^2+\omega^2)^2}$$ |
| 11 | $$t\cos{(\omega t)}$$ | $$\frac{s^2-\omega^2}{(s^2+\omega^2)^2}$$ |
Właściwości transformaty Laplace’a
| NAZWA | WŁAŚCIWOŚĆ MATEMATYCZNA | OPIS SŁOWNY |
|---|---|---|
| Liniowość | $$\mathcal{L}\{a\cdot f+b\cdot g\} = a\cdot\mathcal{L}\{f\}+b\cdot\mathcal{L}\{g\}$$ | Transformata Laplace’a funkcji jest kombinacją liniową ich transformat. |
| Transformata pochodnej | $$\begin{align}\mathcal{L}\{f’\}(s) &= s\cdot\mathcal{L}\{f\}(s) – f(0^+)\\ \mathcal{L}\{f’ ’ \}(s) &= s^2\cdot\mathcal{L}\{f\}(s) -s\cdot f(0^+)-f'(0^+)\\ &\cdots\\ \mathcal{L}\{f^{(n)} \}(s) &= s^{n}\cdot\mathcal{L}\{f\}(s) – \sum_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^+)\end{align}$$ | Pochodna oryginału odpowiada mnożeniu jego transformaty przez argument (plus warunki początkowe oryginału). |
| Pochodna transformaty | $$\frac{d^n}{ds^n}\mathcal{L}\{f(t)\}(s) = \mathcal{L}\{(-1)^nt^nf(t)\}(s)$$ | Pochodna transformaty odpowiada mnożeniu oryginału przez czynnik \((-1)^nt^n\). |
| Transformata całki | $$\mathcal{L}\{\int^t_0f(\tau)d\tau\}(s) = \frac{1}{s}\mathcal{L}\{f(t)\}(s)$$ | Całkowanie oryginału odpowiada dzieleniu jego transformaty przez argument. |
| Transformata przesuniętej funkcji | $$\mathcal{L}\{f(t-\Delta t)\}(s) = e^{-\Delta t\cdot s}\mathcal{L}\{f(t)\}(s)$$ | Przesunięcie oryginału o \(\Delta t\) odpowiada mnożeniu jego transformaty przez czynnik \(e^{-\Delta t\cdot s}\). |
Odwrotna transformata Laplace’a
Transformacja Laplace’a to potężne narzędzie stosowane w matematyce, fizyce i inżynierii do analizy funkcji czasowych. Pozwala ona przenieść funkcje z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości, ułatwiając rozwiązanie wielu problemów różniczkowych i całkowych. Jednak po rozwiązaniu problemu w dziedzinie transformacji Laplace’a, często pożądane jest przeniesienie wyniku z powrotem do dziedziny czasu. Właśnie wtedy pojawia się potrzeba skorzystania z odwrotnej transformacji Laplace’a.
$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}(t) = \frac{1}{2\pi i}\lim_{b\to \infty} \int_{a-ib}^{a+ib}F(s)e^{st}ds$$
Metody obliczania odwrotnej transformacji Laplace’a
Odwrotna transformata Laplace’a jest zdefiniowana jako całka zespolona po pewnym konturze na płaszczyźnie zespolonej. Bezpośrednie obliczanie takich całek bywa skomplikowane. Jednak istnieją metody pozwalające na obliczenie odwrotnej transformaty Laplace’a bez konieczności bezpośredniego całkowania.
Rozkład na ułamki proste i użycie tablic transformacji Laplace’a
Transformaty Laplace’a, z którymi mamy odczynienia są najczęściej skomplikowanymi funkcjami wymiernymi zmiennej \(s\). Przyglądając się tabeli transformat Laplace’a, zauważamy, że transformaty Laplace’a podstawowych funkcji mają postać ułamków prostych.
Rozkład na ułamki proste jest techniką, która polega na dekompozycji funkcji wymiernej na sumę prostszych funkcji wymiernych, nazywanych ułamkami prostymi. Proces ten pozwala rozbić skomplikowane transformaty Laplace’a na prostsze fragmenty, dla których możemy łatwo znaleźć odpowiadające im funkcje czasowe w tabeli transformat Laplace’a.
0 komentarzy