W tym artykule omówimy kryterium stabilności Hurwitza, czyli metodę pozwalającą określić stabilność układu automatycznej regulacji (i nie tylko) na podstawie analizy jego wielomianu charakterystycznego.
- Opis matematyczny układów dynamicznych
- Co to jest stabilność układu dynamicznego?
- Warunki stabilności układu dynamicznego
- Kryterium stabilności Hurwitza
- Przykład zastosowania kryterium Hurwitza
Modele matematyczne układów dynamicznych
Zwykle, do opisu obiektów (układów) fizycznych, które mogą być uznane za stacjonarne, liniowe i skupione wykorzystujemy dwa rodzaje modeli matematycznych. Pierwszym z nich jest opis obiektu za pomocą równań różniczkowych, czyli tak zwany opis przez zmienne stanu, który w automatyce i teorii sterowania najczęściej zadajemy przez cztery macierze: macierz stanu A, macierz sterowania B, macierz wyjść C i macierz przenoszenia D. Opis za pomocą zmiennych stanu jest opisem w dziedzinie czasu.
Drugi sposób opiera się na opisie układu w dziedzinie częstotliwości. Wykorzystuje on znajomość ilorazu transformat Laplace’a sygnału wyjściowego obiektu do wejściowego, a więc transmitancję G(s) opisywanego układu.
Oba z wymienionych opisów zawierają informację na temat stabilności obiektu, który jest przez nie modelowany. Informacja ta zawarta jest w położeniu pierwiastków wielomianu charakterystycznego. W przypadku równań stanu wielomian charakterystyczny w(s) pokrywa się z wielomianem charakterystycznym macierzy stanu A i może być z niej obliczony za pomocą wzoru zamieszczonego poniżej:
gdzie macierz A jest macierzą kwadratową o wymiarach n×n, a macierz In oznacza macierz jednostkową n-tego stopnia.
W przypadku opisu transmitancyjnego wielomian charakterystyczny zwykle jest równy, wielomianowi znajdującemu się w mianowniku transmitancji i może być z niej w prosty sposób odczytany, tak jak przedstawia to poniższa ilustracja.
Warunki stabilności układu
Bez znaczenia na sposób opisu możemy powiedzieć, że układ będzie stabilny (asymptotycznie) jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego w(s), będą znajdowały się w lewej półpłaszczyźnie zespolonej. Innymi słowy, żeby układ był stabilny, części rzeczywiste pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy A muszą być ujemne.
Poszukiwanie pierwiastków wielomianu charakterystycznego o stopniu większym niż dwa jest dość żmudne. Jednakże, w przypadku badania stabilność obiektu nie interesuje nas ich dokładne położenie, lecz raczej odpowiedź na pytanie, czy wszystkie pierwiastki znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zespolonej (wtedy układ jest stabilny).
Z pomocą przychodzi tutaj kryterium stabilności Hurwitza, które na podstawie analizy współczynników ai wielomianu charakterystycznego
pozwala zbadać czy wszystkie jego pierwiastki znajdują się w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej.
Kryterium stabilności Hurwitza
Układ opisywany przez wielomian charakterystyczny
jest stabilny asymptotycznie (wszystkie jego pierwiastki mają ujemną część rzeczywistą) jeśli dwa poniższe warunki są spełnione:
- Wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego ai są większe od zera: ai > 0.
- Wszystkie podwyznaczniki (minory główne) Δi macierzy Hurwitza z indeksami od 2 do n-1 są większe od zera.
Przykład: Wielomian charakterystyczny 5-tego stopnia
Jako przykład obierzmy wielomian charakterystyczny stopnia piątego:
Aby powyższy wielomian był wielomianem charakterystycznym układu stabilnego, muszą zachodzić następujące warunki:
- a5 > 0, a4 > 0, a3 > 0, a2 > 0, a1 > 0, a0 > 0
- Minory główne macierzy Hurwitza o stopniach od 2 do 4 muszą być większe od zera.
0 komentarzy