W tym artykule omówimy kryterium stabilności Hurwitza, czyli metodę pozwalającą określić stabilność układu automatycznej regulacji (i nie tylko) na podstawie analizy jego wielomianu charakterystycznego.

  1. Opis matematyczny układów dynamicznych
  2. Co to jest stabilność układu dynamicznego?
  3. Warunki stabilności układu dynamicznego
  4. Kryterium stabilności Hurwitza
  5. Przykład zastosowania kryterium Hurwitza

Modele matematyczne układów dynamicznych

Zwykle, do opisu obiektów (układów) fizycznych, które mogą być uznane za stacjonarne, liniowe i skupione wykorzystujemy dwa rodzaje modeli matematycznych. Pierwszym z nich jest opis obiektu za pomocą równań różniczkowych, czyli tak zwany opis przez zmienne stanu, który w automatyce i teorii sterowania najczęściej zadajemy przez cztery macierze: macierz stanu A, macierz sterowania B, macierz wyjść C i macierz przenoszenia D. Opis za pomocą zmiennych stanu jest opisem w dziedzinie czasu.

równania stanu i wyjścia
Równania stanu i wyjścia.

Drugi sposób opiera się na opisie układu w dziedzinie częstotliwości. Wykorzystuje on znajomość ilorazu transformat Laplace’a sygnału wyjściowego obiektu do wejściowego, a więc transmitancję G(s) opisywanego układu.

Oba z wymienionych opisów zawierają informację na temat stabilności obiektu, który jest przez nie modelowany. Informacja ta zawarta jest w położeniu pierwiastków wielomianu charakterystycznego. W przypadku równań stanu wielomian charakterystyczny w(s) pokrywa się z wielomianem charakterystycznym macierzy stanu A i może być z niej obliczony za pomocą wzoru zamieszczonego poniżej:

wielomian charakterystyczny macierzy

gdzie macierz A jest macierzą kwadratową o wymiarach n×n, a macierz In oznacza macierz jednostkową n-tego stopnia.

W przypadku opisu transmitancyjnego wielomian charakterystyczny zwykle jest równy, wielomianowi znajdującemu się w mianowniku transmitancji i może być z niej w prosty sposób odczytany, tak jak przedstawia to poniższa ilustracja.

transmitancja i wielomian charakterystyczny
Przykładowa transmitancja i odczytany z niej wielomian charakterystyczny.

Warunki stabilności układu

Bez znaczenia na sposób opisu możemy powiedzieć, że układ będzie stabilny (asymptotycznie) jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu charakterystycznego w(s), będą znajdowały się w lewej półpłaszczyźnie zespolonej. Innymi słowy, żeby układ był stabilny, części rzeczywiste pierwiastków wielomianu charakterystycznego macierzy A muszą być ujemne.

Poszukiwanie pierwiastków wielomianu charakterystycznego o stopniu większym niż dwa jest dość żmudne. Jednakże, w przypadku badania stabilność obiektu nie interesuje nas ich dokładne położenie, lecz raczej odpowiedź na pytanie, czy wszystkie pierwiastki znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zespolonej (wtedy układ jest stabilny).

Z pomocą przychodzi tutaj kryterium stabilności Hurwitza, które na podstawie analizy współczynników ai wielomianu charakterystycznego

wielomian charakterystyczny
Wielomian charakterystyczny n-tego stopnia.

pozwala zbadać czy wszystkie jego pierwiastki znajdują się w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zespolonej.

Kryterium stabilności Hurwitza

Układ opisywany przez wielomian charakterystyczny

wielomian charakterystyczny

jest stabilny asymptotycznie (wszystkie jego pierwiastki mają ujemną część rzeczywistą) jeśli dwa poniższe warunki są spełnione:

  1. Wszystkie współczynniki wielomianu charakterystycznego ai są większe od zera: ai > 0.
  2. Wszystkie podwyznaczniki (minory główne) Δi macierzy Hurwitza z indeksami od 2 do n-1 są większe od zera.
podwyznaczniki macierzy hurwitza minory główne

Przykład: Wielomian charakterystyczny 5-tego stopnia

Jako przykład obierzmy wielomian charakterystyczny stopnia piątego:

wielomian charakterystyczny piątego stopnia
Ogólna postać wielomianu charakterystycznego piątego stopnia.

Aby powyższy wielomian był wielomianem charakterystycznym układu stabilnego, muszą zachodzić następujące warunki:

  1. a5 > 0, a4 > 0, a3 > 0, a2 > 0, a1 > 0, a0 > 0
  2. Minory główne macierzy Hurwitza o stopniach od 2 do 4 muszą być większe od zera.
podwyznaczniki macierzy hurwitza minory główne dla wielomianu stopnia piątego
Minory główne macierzy Hurwitza dla wielomianu charakterystycznego piątego stopnia.

Zobacz również

Kategorie: AUTOMATYKA

0 Komentarzy

Dodaj komentarz

Avatar placeholder

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.