Rozkład na ułamki proste

Rozkład na ułamki proste to narzędzie, z którym każda osoba ucząca się matematyki wyższej spotka się prędzej czy później. Wykorzystywany jest, chociażby przy całkowaniu funkcji wymiernych czy też obliczaniu odwrotnej transformaty Laplace’a. Czym są zatem ułamki proste i jak dokładnie wykonuje się rozkład na nie ? O tym wszystkim dowiesz się z poniższego artykułu.

Czym jest funkcja wymierna ?
Czym są ułamki proste?
Rozkład na ułamki proste
Przykłady rozkładu na ułamki proste
Rozkład na ułamki proste w Mathematica, MATLAB

Czym jest funkcja wymierna ?

Zanim przejdziemy do definicji ułamka prostego, przypomnijmy czym jest funkcja wymierna:

Funkcją wymierną nazywamy funkcję będącą ilorazem (dzieleniem) dwóch wielomianów.

Kilka przykładów funkcji wymiernych zostało zamieszczonych w poniższej tabeli.

	FUNKCJA WYMIERNA
1.	$$f(x) = \frac{1}{x-1}$$
2.	$$f(x) = \frac{x+5}{x-2}$$
3.	$$f(x) = \frac{x-7}{5x^2+9x+2}$$
4.	$$f(x) = \frac{2x^3-x^2+3x+7}{x^2+x+1}$$

Funkcję wymierną nazywamy właściwą, jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Funkcjami wymiernymi właściwymi są zatem jedynie przypadki: 1, 2 oraz 3.

Każda funkcja wymierna, której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku (funkcja wymierna właściwa), może zostać rozłożona na sumę ułamków prostych.

Czym są ułamki proste?

Ułamkiem prostym nazywamy funkcję wymierną, której:

mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego (zależnie od ciała),
licznik jest wielomianem o jeden stopień mniejszym od stopnia wielomianu nierozkładalnego z mianownika

Względem ciała liczb rzeczywistych mamy dwa rodzaje ułamków prostych:

UŁAMEK PROSTY	UWAGI
$$\frac{b}{(x-a)^n}$$	$n \in \mathbb{N}_+$; $a,\ b\in \mathbb{R}$
$$\frac{ex+f}{(ax^2+bx+c)^n}$$	$n \in \mathbb{N}_+$; $a,\ b,\ c,\ e,\ f\in \mathbb{R}$ oraz $b^2 – 4ac < 0$

Względem ciała liczb zespolonych występuje jedynie jeden rodzaj ułamka prostego:

UŁAMEK PROSTY	UWAGI
$$\frac{b}{(z-a)^n}$$	$n \in \mathbb{N}_+$; $a,\ b \in \mathbb{C}$

Rozkład na ułamki proste polega na przedstawieniu danej funkcji wymiernej jako sumy pewnej liczby ułamków prostych. Algorytm rozkładu na ułamki proste można podzielić na osiem głównych kroków. Omówimy je wszystkie poniżej, przy użyciu jako przykładu następującej funkcji wymiernej:

$$f(x) = \frac{x^2+x+2}{x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1}$$

1. Sprawdź, czy stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Jeśli nie, podziel wielomiany, tak aby spełniały to kryterium.

W tym przypadku ${\rm st}(x^2+x+2) < {\rm st}(x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1)$ więc przechodzimy do następnego kroku.

2. Rozłóż mianownik na czynniki pierwsze. To pozwoli Ci zidentyfikować poszczególne ułamki proste, na które będziesz rozkładał wyrażenie.

Zauważ, że jedynka jest pierwiastkiem mianowania. Podzielenie mianownika przez dwumian $x-1$ na przykład za pomocą schematu Hornera, daje wielomian czwartego stopnia $x^4+2x^2+1$. Ten, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ może zostać uproszczony do $(x^2+1)^2$.

$$\frac{x^2+x+2}{x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1} = \frac{x^2+x+1}{(x^2+1)^2(x-1)} $$

3. Zapisz ogólną postać rozkładu na ułamki proste.

Ogólna postać rozkładu w naszym przypadku:

$$\frac{x^2+x+2}{(x^2+1)^2(x-1)} = \frac{Ax+B}{(x^2+1)^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}+\frac{E}{x-1}$$

UWAGA! Zwróć uwagę, że jeśli nierozkładalny czynnik w mianowniku występuje z potęgą $n$, generuje to $n$ ułamków prostych w rozkładzie, każdy zawierający coraz wyższą potęgę tego czynnika (od $1$ do $n$).

4. Przemnóż obie strony równości przez wspólny mianownik.

Mnożąc ostatnią równość przez $(x^2+1)^2(x-1)$ otrzymamy równanie:

$$\begin{align}x^2+x+2 =\ &(Ax+B)(x-1)\\ +&(Cx+D)(x^2+1)(x-1)\\ +&E(x^2+1)^2\end{align}$$

5. Pogrupuj prawą stronę według kolejnych potęg.

Ten krok wymaga żmudnego wymnożenia wszystkich czynników po prawej stronie, a następnie pogrupowania ich względem kolejnych potęg $x$. W naszym przykładzie otrzymamy równanie:

$$\begin{align}x^2+x+2 =\ &(C+E)x^4\\+&(D-C)x^3\\+&(A+C-D+2E)x^2\\+&(B-A-C+D)x\\+&E-B-D\end{align}$$

6. Porównaj odpowiednie współczynniki wielomianów. W ten sposób otrzymasz układ równań, z którego wyznaczysz wartości stałych A, B, C, D, E, …

Dwa wielomiany są sobie równe, jeśli ich współczynniki są równe. Stąd, porównując współczynniki obu wielomianów, uzyskamy układ równań, z którego będziemy mogli wyznaczyć współczynniki potrzebne do rozkładu na ułamki proste. Poniżej prezentuję układ równań, który uzyskałem w naszym przypadku:

$$\begin{cases}C+E = 0\\ D-C=0\\A+C-D+2E =1\\B-A-C+D=1\\ E-B-D = 2\end{cases}$$

8. Rozwiąż układ równań i podstaw wyznaczone wartości stałych rozkładu.

Rozwiązanie układu równań w naszym przypadku jest następujące:

$$\begin{align}A&= -1 \\ B&=0 \\C&=-1 \\ D&=-1 \\ E&=1\end{align}$$

Po wyznaczeniu współczynników, możesz je podstawić do ogólnej postaci rozkładu, uzyskując konkretny rozkład na ułamki proste. W naszym przypadku ostatecznie otrzymujemy:

$$f(x) = \frac{x^2+x+2}{x^5-x^4+2x^3-2x^2+x-1} = \frac{-x}{(x^2+1)^2}+\frac{-x-1}{x^2+1}+\frac{1}{x-1} $$

Przykłady rozkładu na ułamki proste

Oto kilka przykładów rozkładu na ułamki proste. Możesz wykorzystać je do przećwiczenia zdobytej wiedzy.

$$\begin{align}\frac{2x}{(x-1)(x+1)} &= \frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}\\\\ \frac{1}{(x-1)(x+1)^3} &= \frac{1}{8(x-1)}-\frac{1}{2(x+1)^3}-\frac{1}{4(x+1)^2}-\frac{1}{8(x+1)}\\\\ \frac{9x+18}{(x^2+2)^2(x-2)} &= -\frac{6x+3}{(x^2+2)^2}-\frac{x+2}{x^2+2}+\frac{1}{x-2}\\\\ \frac{21}{(x^2+x+1)(x+5)} &= \frac{1}{x+5}+\frac{-x+4}{x^2+x+1}\end{align}$$