Z układami równań liniowych mamy do czynienia na tyle często w matematyce, naukach ścisłych i technicznych, że bez umiejętności ich efektywnego rozwiązywania nie zajdziemy zbyt daleko. Warto zatem poznać wzory Cramera dzięki, którym rozwiązywanie układów równań liniowych stanie się jeszcze łatwiejsze i sprawniejsze.

  1. Definicja układu równań liniowych
  2. Postać macierzowa układu równań liniowych
  3. Twierdzenie Cramera
  4. Przykład 1 – rzeczywisty
  5. Przykład 2 – zespolony

Układ równań liniowych

Układem n równań liniowych o n niewiadomych x1, x2, …, xn nazywamy układ równań

Układ równań liniowych
1. Układ n równań liniowych o n niewiadomych

w którym zakładamy, że znane są nam współczynniki aij ∊ ℝ oraz współczynniki bi ∊ ℝ, nazywane również wyrazami wolnymi. Współczynniki aij oraz wyrazy wolne bi mogą być także zespolone (przykładowy zespolony układ równań znajdziesz na końcu tego artykułu).

Postać macierzowa układu równań liniowych

Postacią macierzową układu równań liniowych, będziemy nazywać następującą równość macierzową:

Postać macierzowa układu równań liniowych
2. Postać macierzowa układu równań liniowych

Macierz A została utworzona ze współczynników mnożących niewiadome x1, x2, …, xn po lewej stronie równań (1), w taki sposób, że współczynniki znajdujące się w jednym wierszu równania, tworzą jeden wiersz macierzy A. Ponieważ założyliśmy na początku, że liczba równań w (1) jest równa liczbie niewiadomych, macierz A musi być macierzą kwadratową (jej liczba wierszy jest równa jej liczbie kolumn). Elementami macierzy kolumnowej x są niewiadome x1, x2, …, xn, a elementami macierzy kolumnowej b są wyrazy wolne znajdujące się po prawej stronie i-tego równania (1). Ponieważ macierze x i b są macierzami kolumnowymi, bywają również nazywane wektorami.

Definicja macierzy głównej A i macierzy kolumnowych x i b
3. Definicja macierzy głównej oraz x i b

Twierdzenie Cramera (metoda wyznaczników)

Do wprowadzenia twierdzenia Cramera będziemy potrzebowali definicji wyznacznika głównego oraz pozostałych wyznaczników pojawiających się we wzorach Cramera. Wyznacznikiem głównym macierzy A układu równań liniowych (1) będziemy nazywali wyznacznik

Wzory Cramera definicja wyznacznika głównnego
4. Definicja wyznacznika głównego

będący wyznacznikiem macierzy A układu równań liniowych (1). Przez Wi oznaczmy wyznacznik macierzy utworzonej z macierzy A przez zastąpienie w niej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych b, wtedy

Definicja wyznaczników we wzorach Cramera
5. Definicje pozostałych wyznaczników występujących we wzorach Cramera.

Układ n równań liniowych o n niewiadomych (1) będzie posiadał tylko jedno rozwiązanie (będzie oznaczony), jeśli jego wyznacznik W będzie różny od zera. Rozwiązanie to możemy zapisać za pomocą ilorazów wyznaczników Wi i W tak, że

Wzory Cramera
6. Wzory Cramera

nazywanych wzorami Cramera. Sposoby obliczania wyznaczników macierzy zostały opisane przeze mnie w artykule: Jak obliczyć wyznacznik macierzy?, zachęcam do zajrzenia również tam.

W przypadku gdy W = 0 ilość rozwiązań układu równań liniowych (1) zależy od wartości wyznaczników Wi. Gdy co najmniej jeden z wyznaczników Wi jest różny od zera, układ jest sprzeczny (nie posiada rozwiązań). Natomiast gdy wszystkie wyznaczniki Wi są równe zero, układ jest nieoznaczony (posiada więcej niż jedno rozwiązanie).

Podsumowując twierdzenie Cramera:

  • det(A) ≠ 0 ⇒ Układ oznaczony (tylko jedno rozwiązanie). Rozwiązanie jest dane wzorami Cramera.
  • det(A) = 0
    • Jeśli choć jeden wyznacznik Wi≠0 ⇒ Układ sprzeczny (brak rozwiązań).
    • Jeśli wszystkie wyznaczniki Wi=0 ⇒ Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań). Rozwiązanie z parametrem w tym wypadku można otrzymać stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Wzory Cramera — przykład pierwszy, rzeczywisty

Wzory Cramera wykorzystamy do rozwiązania układu równań liniowych

Układ równań o współczynnikach rzeczywistych

którego postać macierzowa jest następująca:

Postać macierzowa rzeczywistego układu równań liniowych

Z postaci macierzowej możemy odczytać odpowiednie macierze i obliczyć ich wyznaczniki W, W1 i W2, są one równe

Wyznaczniki rzeczywistego układu równań we wzorach Cramera

Ponieważ W ≠ 0, układ równań liniowych jest oznaczony. Jego rozwiązanie otrzymamy dzieląc wyznaczniki W1 i W2 przez wyznacznik W. Zatem, rozwiązanie układu równań z przykładu pierwszego jest następujące:

Wzory Cramera — przykład drugi, zespolony

Czy wzory Cramera działają dla układów równań linowych w ciele liczb zespolonych? Działają! Czego dowodzi poniższy przykład. Rozważmy więc układ równań liniowych o zespolonych współczynnikach

na podstawie którego możemy napisać jego postać macierzową

z której możemy odczytać odpowiednie macierze i obliczyć ich wyznaczniki W, W1 i W2, są one równe

Ponieważ W ≠ 0+0𝑖, układ równań liniowych jest oznaczony. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym, jego rozwiązanie otrzymamy dzieląc wyznaczniki W1 i W2 przez wyznacznik W, jest ono następujące:

Z zespolonymi układami równań liniowych możesz spotkać się najczęściej w elektrotechnice, gdzie liczby zespolone są używane do opisu prądu przemiennego.

Zobacz również


0 komentarzy

Dodaj komentarz

Avatar placeholder

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.