Jak obliczyć wyznacznik macierzy? Zobacz jakie to proste!

Wyznacznik macierzy to obiekt, z którym z pewnością będziesz musiał się spotkać, studiując na politechnice lub innym ścisłym kierunku. Nie przejmuj się! Obliczanie wyznaczników jest proste i przyjemne (choć czasami bywa żmudne) 🙂

Mimo swojej prostoty wyznacznik odgrywa dużą rolę w matematyce, fizyce i naukach pokrewnych, o czym może świadczyć jego wiele jego zastosowań:

• rozwiązywanie liniowych układów równań (twierdzenie Cramera),
• znajdowanie wartości własnych macierzy (równanie wiekowe),
• określanie położenia pierwiastków wielomianów (twierdzenie Hurwitza),
• obliczanie macierzy odwrotnej,
• sprawdzanie liniowej niezależności wektorów,
• sprawdzanie rzędu macierzy,
• iloczyn wektorowy,
• obliczenie pola powierzchni czy objętości.
• itd…

W tym artykule omówimy kilka podstawowych sposobów służących do obliczania wyznaczników kilku pierwszych rzędów:

1. Oznaczenia
2. Wyznacznik macierzy 1 × 1
3. Wyznacznik macierzy 2 × 2
4. Wyznacznik macierzy 3 × 3
   • Wyznacznik macierzy 3 × 3 metodą Sarrusa
   • Wyznacznik macierzy 3 × 3 metodą Laplace’a
5. Wyznacznik macierzy 4 × 4
6. Wyznacznik macierzy n × n

Oznaczenia

Dla każdej macierzy kwadratowej stopnia n:

możemy przyporządkować liczbę, oznaczaną następującymi symbolami:

którą nazywamy wyznacznikiem macierzy A lub determinantem macierzy A.

Ścisłą definicję tej liczby najwytrwalsi, znajdą na samym końcu tego artykułu 🙂

Wyznacznik macierzy 1 × 1

Nic prostszego! Ponieważ macierz stopnia pierwszego zawiera wyłącznie jeden element, jej wyznacznik równy jest temu jedynemu elementowi.

Wyznacznik macierzy 2 × 2

W przypadku wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia drugiego do zapamiętania jest prosty wzorek:

Wyznacznik macierzy drugiego stopnia obliczysz, mnożąc elementy diagonalne przez siebie i od wyniku odejmując iloczyn elementów leżących na antydiagonali.

Elementami diagonalnymi macierzy nazywamy elementy, które mają takie same indeksy wierszowe i kolumnowe np. a₁₁, a₂₂. Natomiast elementami antydiagonalnymi macierzy nazywamy elementy leżące na najdłuższej przekątnej „prostopadłej” do diagonali np. a₁₂, a₂₁.

Prawda, że proste?

Wyznacznik macierzy 3 × 3

Do obliczenia wyznacznika macierzy kwadratowych stopnia trzeciego możemy podejść na dwa sposoby. Pierwszym z nich jest mnemotechnika zwana metodą Sarrusa, a drugim ogólna metoda nazywana rozwinięciem Laplace’a.

Wyznacznik macierzy 3 × 3 metodą Sarrusa

Metody obliczania wyznaczników macierzy trzeciego stopnia rozpoczniemy od metody Sarrusa.

Najpierw do macierzy 3 × 3, której wyznacznik chcesz policzyć, dopisz po jej prawej stronie dwie pierwsze kolumny. Powinieneś otrzymać macierz wymiaru 3 × 5.

Następnie dodaj do siebie iloczyny elementów znajdujących się na prostych biegnących z góry na prawo i odejmij iloczyny elementów znajdujących się na prostych idących z góry na lewo.

Wyrażenie, które w wyniku otrzymasz, jest równe wyznacznikowi macierzy. Cały proces obliczania wyznacznika metodą Sarrusa, został zilustrowany poniżej

Wyznacznik macierzy 3 × 3 metodą Laplace’a

Metoda Laplace’a pozwala wyrazić wyznacznik macierzy n-tego stopnia przez wyznaczniki macierzy stopnia n-1. Taką procedurę będziemy nazywać rozwinięciem wyznacznika.

Wyznacznik może być rozwijany względem dowolnej kolumny lub wiersza. By rozwinąć wyznacznik, w pierwszym kroku należy wybrać dowolny wiersz lub kolumnę macierzy względem, którego będziemy rozwijali wyznacznik. Załóżmy, że w tym przykładzie wyznacznik rozwiniemy względem pierwszej kolumny.

Następnie każdemu elementowi a_ij macierzy przyporządkowujemy liczbę ze zbioru {+1, -1} według wzoru:

gdzie „i” oznacza numer wiersza a „j” numer kolumny elementu. W wyniku przyporządkowania, dla macierzy trzeciego stopnia, dostaniemy dodatkową macierz wypełnioną ±1:

Powyższą macierz można również utworzyć graficznie, co z reguły jest prostsze gdy wyznacznik chcemy obliczyć ręcznie. Graficzne uzupełnianie macierzy rozpoczynamy od wpisania +1 w lewym górnym rogu, następnie przechodząc o jeden wiersz lub kolumnę (nigdy dwa równocześnie!), zmieniamy naprzemiennie +1 na -1.

Możemy teraz przystąpić do rozwinięcia wyznacznika macierzy stopnia trzeciego względem pierwszej kolumny.

Każdy element z wybranej kolumny (wiersza) mnożymy przez odpowiadającą mu liczbę ±1 oraz wyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z wykreślenia wiersza i kolumny, na których przecięciu znajduje się element.

W ten sposób otrzymujemy rozwinięcie wyznacznika:

Do obliczenia wyznaczników macierzy drugiego stopnia używamy poznanych na początku wzorów w wyniku otrzymując wzór identyczny jak w przypadku metody Sarrusa:

Oczywiście nie zawsze musimy rozwijać wyznacznik względem pierwszej kolumny. Może to być również rozwinięcie względem dowolnego innego wiersza (kolumny) na przykład środkowego:

Kolumnę lub wiersz, względem których rozwijamy wyznacznik, najlepiej wybrać tak by zawierały jak najwięcej zer, wtedy ilość potrzebnych obliczeń jest najmniejsza!

Wyznacznik macierzy 4 × 4

Do samodzielnego obliczania wyznaczników wyższych rzędów stosuje się praktycznie wyłączenie rozwinięcie Laplace’a.

Przykładowe rozwinięcie Laplace’a wyznacznika macierzy czwartego stopnia względem pierwszej kolumny zostało rozpisane poniżej:

Do obliczenia wyznaczników trzeciego stopnia, ponownie możesz użyć rozwinięcia Laplace’a, w wyniku otrzymując rozwinięcie wyznacznika czwartego stopnia na 12 wyznaczników stopnia drugiego. Do obliczenia wyznaczników trzeciego stopnia można oczywiście również zastosować metodę rozwinięcia Sarrusa.

Wyznacznik macierzy n × n

Na koniec omówimy ogólne wzory pozwalające dokonać rozwinięcia Laplace’a wyznacznika macierzy n-tego stopnia. Do tego celu potrzebna nam będzie definicja mirona macierzy.

Minorem elementu macierzy znajdującym się w i-tym wierszu oraz j-tej kolumnie, nazywamy macierz powstałą przez wykreślenie z niej i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Zatem, rozwinięcie wyznacznika n-tego stopnia względem k-tego wiersza jest równe sumie iloczynów współczynnika ±1 i wyznaczników minorów elementów znajdujących się w k-tym wierszu. Powyższe sformułowanie można zapisać następującym wzorem

Podobnie, rozwinięcie wyznacznika n-tego stopnia względem k-tej kolumny jest równe sumie iloczynów współczynnika ±1 i wyznaczników minorów elementów znajdujących się w k-tej kolumnie. Powyższe sformułowanie można zapisać następującym wzorem

Kończąc ten artykuł, warto wspomnieć, że powyższe sformułowanie, mimo iż bardzo ogólne, nie jest najefektywniejszym sposobem obliczania dużych wyznaczników.

Wspomnijmy tutaj tylko, że duże wyznaczniki efektywniej oblicza się przez sprowadzeni ich do postaci trójkątnej za pomocą rozkładu LU czy metody eliminacji Gaussa. Jeśli znajdą się chętni to być może temat zostanie rozbudowany w kolejnych artykułach 🙂