Wzór Eulera to równanie, które zajmuje szczególne miejsce w matematyce i naukach ścisłych. Jest jednym z najpiękniejszych oraz jednocześnie najbardziej użytecznych równań.

Studenci zazwyczaj zapoznają się z nim na pierwszym semestrze, w trakcie kursu analizy matematycznej lub algebry. Niestety większości z nich ta wiedza szybko ucieka z głowy i na pytanie, czy wiedzą czym jest wzór Eulera, odpowiadają: „yyy… ymmm… coś tam kiedyś było…”. Prawdopodobnie jest to spowodowane tym, że owa równość jest traktowana przez uczniów jako kolejny suchy fakt, który trzeba przyswoić przed egzaminem. Nie mają oni już ochoty, by włożyć trochę wysiłku w wyrobienie sobie intuicji dotyczącej tego pięknego fragmentu matematyki. A szkoda 🙂

W tym artykule postaram się pokazać Ci nie tylko te suche fakty, ale również spróbuję przedstawić Ci możliwe zastosowania wzoru Eulera, tak prosto jak to tylko możliwe. Zapraszam do lektury!

Dowód wzoru Eulera

Wzór Eulera wiąże ze sobą trzy elementarne funkcje matematyczne: funkcję wykładniczą, sinus i cosinus. Żeby dowieść jego słuszności, będziemy potrzebowali ich ścisłych definicji. W matematyce każda z wymienionych funkcji elementarnych jest zdefiniowana za pomocą szeregu potęgowego, który najogólniej możemy zapisać jako

Szereg Taylora - Funkcja analityczna
Rozwinięcie funkcji f(z) w szereg potęgowy

gdzie wyrazy an są współczynnikami szeregu potęgowego, natomiast z0 jest miejscem wokół, którego rozwijamy funkcję.

Zatem z definicji funkcja wykładnicza jest równa

funkcja wykładnicza
Definicja funkcji wykładniczej

natomiast funkcję sinus definiujemy jako

sinus szereg taylora
Definicja funkcji sinus

a funkcję cosinus jako

cosinus szereg taylora
Definicja funkcji cosinus

Zanim przejdziemy do samego dowodu, musimy zwrócić uwagę na kilka właściwości powyższych definicji. Po pierwsze zauważmy, że definicje wykorzystują rozwinięcie funkcji w szereg potęgowy wokół zera (z0 = 0). Co więcej, rozwinięcia te są słuszne nie tylko dla liczb rzeczywistych, ale również pozwalają rozszerzyć dziedzinę funkcji: wykładniczej, sinus i cosinus ze zbioru liczb rzeczywistych ℝ na zbiór liczb zespolonych ℂ. Dzięki temu uogólnieniu możemy obliczyć, ile wynosi wartość funkcji wykładniczej, sinus i cosinus dla dowolnej liczby zespolonej, np. można pokazać, że sin (2 + 3𝑖) ≈ 9.1545 − 4.1689𝑖.

Wykorzystując podstawowe kryteria zbieżności szeregów, można również pokazać, że tak zdefiniowane funkcje są zbieżne dla wszystkich liczb zespolonych (a zatem i dla rzeczywistych). Przejdźmy teraz do dowodu.

Za wzorem Eulera podstawmy za argument funkcji wykładniczej iloczyn jednostki urojonej 𝑖 oraz dowolnej liczby rzeczywistej x, otrzymując wyrażenie 𝕖𝑖x. Następnie, korzystając z definicji rozwińmy je w szereg potęgowy

funkcja wykładnicza od zmiennej czysto urojonej

oraz zapiszmy (𝑖x)n jako in 𝑖nxn , otrzymując

funkcja wykładnicza od zmiennej czysto urojonej 2

Zauważmy, że ciąg występujący w powyższym szeregu potęgowym złożony z kolejnych potęg jednostki urojonej

kolejne potęgi jednostki urojonej
Kolejne potęgi całkowite jednostki urojonej

jest okresowy, a powtarzające się wartości oddalone są o cztery wyrazy (okres tego ciągu jest równy 4). Skorzystajmy z tej obserwacji i wszystkie potęgi jednostki urojonej, występujące w rozwinięciu 𝕖𝑖x, wyraźmy przez całkowite potęgi od 0 do 3, to jest: 𝑖0 = 1, 𝑖1 = 𝑖, 𝑖2 = -1, 𝑖4 = -𝑖. W tak przekształconym szeregu potęgowym

funkcja wykładnicza od zmiennej czysto urojonej

możemy wyróżnić dwa podciągi: pierwszy czysto rzeczywisty i rozpoczynający się od jedynki oraz drugi zawierający we wszystkich swoich wyrazach jednostkę urojoną 𝑖. Dokonajmy separacji tych podciągów i wyłączmy w drugim jednostkę urojoną przed nawias, otrzymując

Funkcja wykładnicza jako suma cosinusa i sinusa. Wzór Eulera.
Funkcja wykładnicza wyraża się przez cosinus i sinus.

Zauważmy, że szeregi potęgowe występujące w nawiasach są równe odpowiednio funkcjom cosinus i sinus.

Funkcja wykładnicza cosinus sinus sumy. Wzór Eulera.

Możemy zatem napisać, że zachodzi równość

Wzór Eulera
Wzór Eulera

co dowodzi poprawności wzoru Eulera, którą mieliśmy udowodnić… Tak, naprawdę należałoby jeszcze pokazać dowód w drugą stronę, czyli udowodnić, że wyrażenie cos(x) + 𝑖sin (x) jest równe 𝕖𝑖x. W tym celu najpierw należy rozwinąć funkcje trygonometryczne w szeregi potęgowe, a następnie należy zwinąć je w funkcję wykładniczą. Sprawdź sam / sama czy potrafisz taki odwrotny dowód przeprowadzić 🙂 Q.E.D.

Ciąg dalszy nastąpi ….

Zobacz również


0 komentarzy

Dodaj komentarz

Avatar placeholder

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.