Wzory Cramera i Twierdzenie Cramera

Z układami równań liniowych mamy do czynienia na tyle często w matematyce, naukach ścisłych i technicznych, że bez umiejętności ich efektywnego rozwiązywania nie zajdziemy zbyt daleko. Warto zatem poznać wzory Cramera dzięki, którym rozwiązywanie układów równań liniowych stanie się jeszcze łatwiejsze i sprawniejsze.

1. Definicja układu równań liniowych
2. Postać macierzowa układu równań liniowych
3. Twierdzenie Cramera
4. Przykład 1 – rzeczywisty
5. Przykład 2 – zespolony

Układ równań liniowych

Układem n równań liniowych o n niewiadomych x₁, x₂, …, x_n nazywamy układ równań

w którym zakładamy, że znane są nam współczynniki a_ij ∊ ℝ oraz współczynniki b_i ∊ ℝ, nazywane również wyrazami wolnymi. Współczynniki a_ij oraz wyrazy wolne b_i mogą być także zespolone (przykładowy zespolony układ równań znajdziesz na końcu tego artykułu).

Postać macierzowa układu równań liniowych

Postacią macierzową układu równań liniowych, będziemy nazywać następującą równość macierzową:

Macierz A została utworzona ze współczynników mnożących niewiadome x₁, x₂, …, x_n po lewej stronie równań (1), w taki sposób, że współczynniki znajdujące się w jednym wierszu równania, tworzą jeden wiersz macierzy A. Ponieważ założyliśmy na początku, że liczba równań w (1) jest równa liczbie niewiadomych, macierz A musi być macierzą kwadratową (jej liczba wierszy jest równa jej liczbie kolumn). Elementami macierzy kolumnowej x są niewiadome x₁, x₂, …, x_n, a elementami macierzy kolumnowej b są wyrazy wolne znajdujące się po prawej stronie i-tego równania (1). Ponieważ macierze x i b są macierzami kolumnowymi, bywają również nazywane wektorami.

Twierdzenie Cramera (metoda Cramera, metoda wyznaczników)

Do wprowadzenia twierdzenia Cramera będziemy potrzebowali definicji wyznacznika głównego oraz pozostałych wyznaczników pojawiających się we wzorach Cramera. Wyznacznikiem głównym macierzy A układu równań liniowych (1) będziemy nazywali wyznacznik

będący wyznacznikiem macierzy A układu równań liniowych (1). Przez W_i oznaczmy wyznacznik macierzy utworzonej z macierzy A przez zastąpienie w niej i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych b, wtedy

Układ n równań liniowych o n niewiadomych (1) będzie posiadał tylko jedno rozwiązanie (będzie oznaczony), jeśli jego wyznacznik W będzie różny od zera. Rozwiązanie to możemy zapisać za pomocą ilorazów wyznaczników W_i i W tak, że

nazywanych wzorami Cramera. Sposoby obliczania wyznaczników macierzy zostały opisane przeze mnie w artykule: Jak obliczyć wyznacznik macierzy?, zachęcam do zajrzenia również tam.

W przypadku gdy W = 0 ilość rozwiązań układu równań liniowych (1) zależy od wartości wyznaczników W_i. Gdy co najmniej jeden z wyznaczników W_i jest różny od zera, układ jest sprzeczny (nie posiada rozwiązań). Natomiast gdy wszystkie wyznaczniki W_i są równe zero, układ jest nieoznaczony (posiada więcej niż jedno rozwiązanie).

Podsumowując twierdzenie Cramera:

• det(A) ≠ 0 ⇒ Układ oznaczony (tylko jedno rozwiązanie). Rozwiązanie jest dane wzorami Cramera.
• det(A) = 0
  • Jeśli choć jeden wyznacznik W_i≠0 ⇒ Układ sprzeczny (brak rozwiązań).
  • Jeśli wszystkie wyznaczniki W_i=0 ⇒ Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań). Rozwiązanie z parametrem w tym wypadku można otrzymać stosując twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Wzory Cramera — przykład pierwszy, rzeczywisty

Wzory Cramera wykorzystamy do rozwiązania układu równań liniowych

którego postać macierzowa jest następująca:

Z postaci macierzowej możemy odczytać odpowiednie macierze i obliczyć ich wyznaczniki W, W₁ i W₂, są one równe

Ponieważ W ≠ 0, układ równań liniowych jest oznaczony. Jego rozwiązanie otrzymamy dzieląc wyznaczniki W₁ i W₂ przez wyznacznik W. Zatem, rozwiązanie układu równań z przykładu pierwszego jest następujące:

Wzory Cramera — przykład drugi, zespolony

Czy wzory Cramera działają dla układów równań linowych w ciele liczb zespolonych? Działają! Czego dowodzi poniższy przykład. Rozważmy więc układ równań liniowych o zespolonych współczynnikach

na podstawie którego możemy napisać jego postać macierzową

z której możemy odczytać odpowiednie macierze i obliczyć ich wyznaczniki W, W₁ i W₂, są one równe

Ponieważ W ≠ 0+0𝑖, układ równań liniowych jest oznaczony. Analogicznie jak w przypadku rzeczywistym, jego rozwiązanie otrzymamy dzieląc wyznaczniki W₁ i W₂ przez wyznacznik W, jest ono następujące:

Z zespolonymi układami równań liniowych możesz spotkać się najczęściej w elektrotechnice, gdzie liczby zespolone są używane do opisu prądu przemiennego.

Zobacz również

• Jak obliczyć wyznacznik macierzy?
• Wzór Eulera