Przekształcenie gwiazdy w trójkąt (lub trójkąta w gwiazdę), nazywane również transfiguracją gwiazda-trójką (lub trójkąt-gwiazda) znajduje szczególne zastosowanie w układach trójfazowych. Warto rozumieć skąd się ono bierze i na czym polega. Dziś przyjrzymy mu się nie co dokładniej od strony teoretycznej.

Transfiguracja gwiazda trójkąt i transfiguracja trójkąt gwiazda. Zamiana gwiazda trójkąt i zamiana trójkąt gwiazda.
Wzory pozwalające na transfigurację gwiazdy w trójkąt i trójkąta w gwiazdę.

Wyprowadzenie wzorów na transfigurację

Od lewej: Połączenie trójnika w gwiazdę i połączenie trójnika w trójkąt.
Po lewej stronie znajduje się połączenie rezystorów w gwiazdę, po stronie prawej połączenie w trójkąt.

Układ elektryczny, który ma trzy zaciski (inaczej mówiąc „ma trzy nóżki”) nazywamy trójnikiem.

Połączenie trzech elementów w gwiazdę lub trójkąt jest zatem trójnikiem, ponieważ w wyniku takiego połączenia uzyskujemy układ posiadający trzy zaciski elektryczne.

Załóżmy teraz, że mamy trzy rezystory o znanej rezystancji (lub ogólniej trzy impedancje) połączone w trójkąt. Następnie zamknijmy ten układ w czarnej skrzynce w taki sposób, żeby na zewnątrz wychodziły tylko trzy zaciski A, B, C. Podobnie postąpmy w przypadku układu trzech innych rezystorów połączonych w gwiazdę. Zamknijmy go w czarnej skrzynce, w taki sposób na zewnątrz wychodziły tylko trzy zaciski A, B, C.

Zachodzi teraz pytanie, czy możliwe jest takie dobranie wartości rezystorów (lub impedancji) połączonych w gwiazdę, żeby oba układy były równoważne elektrycznie? Inaczej mówiąc, czy jest możliwe, żeby układów nie dało się rozróżnić bez zaglądania do środka czarnych skrzynek?

Przypomnijmy, że układy elektryczne nazywamy równoważnymi elektrycznie jeżeli do układów wpływają te same prądy jeśli do ich zacisków przyłożymy do nich identyczne napięcia.

Odpowiedź brzmi: Tak, Jest to możliwe! Wystarczy, żeby każda para zacisków w obu układach posiadała tę samą rezystancję (lub w ogólnym przypadku impedancję).

W przypadku połączenia w gwiazdę rezystancja między zaciskami A i B jest sumą oporów Ra i Rb natomiast rezystancja między zaciskami A i B w połączeniu w trójkąt jest równa równoległemu połączeniu rezystorów Rab wraz z sumą Rbc i Rca. Spróbujmy zapisać to równaniami. W przypadku równoważności zacisków AB:

AB wzór. Transfiguracja wyprowadzenie wzoru.
Równanie 1

Analogiczną zależność otrzymamy w przypadku porównania rezystancji widzianych z zacisków BC:

BC wzór. Transfiguracja wyprowadzenie wzoru.
Równanie 2

oraz w przypadku porównania rezystancji widzianych z zacisków CA:

CA wzór. Transfiguracja wyprowadzenie wzoru.
Równanie 3

Po obustronnym zsumowaniu trzech otrzymany zależności i podzieleniu przez dwa, otrzymamy równanie:

ABC wzór. Transfiguracja wyprowadzenie wzoru.
Równanie 4

Zamiana trójkąt-gwiazda

Wzory na transfigurację trójkąta w gwiazdę otrzymamy po odjęciu stronami od ostatniego równania kolejno równania 3, 2, 1:

Przekształcenie trójkąta w gwiazdę. Transfiguracja trójkąt gwiazda. Zamiana trójkąt gwiazda.
Równania 5, 6, 7 pozwalające na przekształcenie trójkąta w gwiazdę.

określające wartości rezystancji Ra, Rb, Rc elementów trójnika połączonego w gwiazdę równoważnego trójnikowi połączonemu w trójkąt.

Zamiana gwiazda-trójkąt

Związki odwrotne otzymamy jeżeli następującą sumę iloczynów (obliczoną za pomocą wzorów 5, 6, 7):

ABBCCA wzór. Transfiguracja wyprowadzenie wzoru.
Równanie 8

podzielimy kolejno stronami przez równania 7, 6, 5. Otrzymamy wtedy zależności na przekształcenie gwiazda-trójkąt:

Przekształcenie gwiazdy w trójkąt.
Transfiguracja gwiazda-trójkąt. Zamiana gwiazda-trójkąt.
Równania 9, 10, 11 pozwalające na przekształcenie gwiazdy w trójkąt.

Przykład wideo

KURS PRĄDU STAŁEGO

Uczysz się elektrotechniki lub teorii obwodów? Prowadzący jest wymagający, ale nie potrafi dobrze przekazać wiedzy? Samodzielne przebijanie się przez tony wzorów i metod sprawia Ci duży problem?

Nie przejmuj się! Przygotowałem dla Ciebie program, w którym krok po kroku przeprowadzę Cię za rękę przez podstawy teorii obwodów.

Jeśli nie chcesz mieć problemów z dalszą nauką elektrotechniki, najpierw dobrze zrozum jej podstawy, czyli prąd stały. Warto ugruntować sobie tę wiedzę, ponieważ z pewnością wykorzystasz ją również w prądzie zmiennym, stanach nieustalonych, czy obwodach trójfazowych.

Zachęcam Cię do zapoznania się treścią kursu klikając w zdjęcie poniżej 🙂

kurs teorii obwodów prąd stały

Zobacz również


0 Komentarzy

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *